Las cuatro reglas de El Discurso del Método en la primera edición de 1637: + análisis

1. Evidencia: no aceptar como verdadero lo que no ofrezca plena

evidencia, evitando la precipitación y la prevención.

2. Análisis: dividir las dificultades en tantos elementos como sea

necesario para resolverlas completamente.

3. Síntesis: Llevar los pensamientos en orden, procediendo de lo simple a

lo complejo.

4. Verificación: hacer suficientes enumeraciones y revisiones para tener la

seguridad de no omitir nada.

El Libro Primero de La Geometría trata «De los Problemas que pueden construirse sin emplear más que círculos y líneas rectas». En este libro Descartes fija (basándose siempre en El Discurso del Método) la metodología cartesiana que aplicará a la traducción algebraica de los problemas geométricos clásicos, de modo que el libro contiene el núcleo de toda la formulación cartesiana de La Geometría, siempre íntimamente ligada al método. Empieza el libro con una auténtica declaración de principios (G.AT,VI, 369):

«Todos los problemas de Geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales, que no es necesario conocer de antemano más que la longitud de algunas líneasrectas para construirlos.»

El Libro Segundo de La Geometría titulado «De la naturaleza de las líneas curvas» constade cuatro partes bien diferenciadas:

a) La naturaleza geométrica de las líneas curvas, vinculada sobre todo a dos cuestionesíntimamente ligadas: los compases cartesianos y la teoría de la proporción continua.Mientras en el Libro I, sin olvidar los lugares geométricos, Descartes centra más la atención sobre puntos individualizados, en el Libro II se proyecta sobre el objeto geométrico Curva. Descartes mantiene la división clásica griega de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales (que se resuelven con ecuaciones de segundo, tercer y cuarto o mayor grado, respectivamente) y demuestra que los problemas planos se construyen con rectas y circunferencias, los sólidos con secciones cónicas y el resto con líneas más complejas, llamadas por los antiguos curvas mecánicas, aunque más correcto sería llamarlas curvas geométricas. Descartes tiene el propósito de poner un poco de orden en el estudio de las curvas de la Geometría de los griegos, que según él era un caos completo, secuela de la limitación platónica de la regla y el compás, al no ser capaces de distinguir las diversas clases de curvas por no poder dilucidar la naturaleza de las mismas. Esto es precisamente lo que se propone Descartes, a base de establecer qué curvas son las que se pueden admitir en Geometría.

b) El Problema general de Pappus, ahora tratado con las herramientas precisas para poder clasificar las diversas soluciones de los diversos planteamientos del mismo. Con el método cartesiano el clásico Problema de Pappus queda completamente resuelto.

c) La construcción y propiedades de tangentes y normales a una curva geométrica. Una vez concebida y definida, de forma clara y distinta, la naturaleza geométrica de las líneascurvas, Descartes introduce uno de los principios básicos de su método: «para encontrartodas las propiedades de las líneas curvas basta con saber la relación que tienen todossus puntos con los de las líneas rectas, [...]», y establece cómo se puede utilizar la expresión algebraica (la ecuación de las curvas) para determinar los elementos geométricos más notables de las curvas (diámetros, ejes, centros, etc.) y, en particular, las normales, líneas cuya consideración y utilidad deriva de los problemas de la reflexión de la luz sobre las superficies curvas, y que literalmente es considerado por Descartes como el más importante problema geométrico que pueda ser concebido.

d) Finalmente Descartes estudia los Óvalos como curvas especiales que responden a

consideraciones fijadas de las tangentes o normales. Descartes introduce cuatro amplias familias de curvas nuevas, de las que las cónicas son casos particulares.

El Libro Tercero de La Geometría trata «De la construcción de los problemas que son sólidos o más que sólidos» mediante el estudio de la resolución de ecuaciones, discusión de sus raíces, y relaciones entre los coeficientes. Descartes pretende ofrecer un método de resolución de cualquier ecuación algebraica. En realidad sólo llega a la resolución geométrica de un determinado tipo de ecuaciones de quinto y sexto grado, pero su método quiere ser general. Muestra que una ecuación puede tener tantas raíces como dimensiones tiene el grado (existe «la posibilidad de imaginar tantas raíces como el grado delpolinomio»), da luego su famosa regla de los signos y adelanta el Teorema de Ruffini del factor. Descartes introduce como transformaciones de la variable las traslaciones y lashomotecias (no es el primero, Vieta y Harriot, respectivamente se habían adelantado a ellas), mediante las cuales consigue (como había hecho Vieta con anterioridad), reducir el segundo término y cuando es posible, racionalizar.

Después de fundamentar las operaciones y propiedades algebraicas necesarias, Descartes introduce el simple criterio de divisibilidad sobre el término independiente de la ecuación polinómica (como condición necesaria aunque no suficiente) para obtención de raíces enteras y a partir de aquí ir reduciendo el grado de la ecuación mediante el algoritmo de la división. La existencia de una raíz entera permite caracterizar el problema geométrico inicial que conduce a la ecuación polinómica en cuestión como un problema plano, siempre y cuando la raíz sea adecuada para el problema geométrico. Por ejemplo en el caso de ecuaciones cúbicas con raíz entera, el problema es plano, ya que tras efectuar la división, obtenemos una ecuación cuadrática, cuyas soluciones, si existen, se obtienen con regla y compás, de acuerdo con lo establecido en el libro I. En caso de ausencia de raíces enteras, se puede afirmar, sin duda alguna, que el problema geométrico inicial es sólido y Descartes establece entonces que sólo hay dos formas de resolver la ecuación mediante la intervención de los clásicos problemas: la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. De hecho, todo problema cúbico es equivalente a uno de estos dos problemas geométricos (G.AT,VI, 471-475). He aquí un nuevo y magnífico éxito del método cartesiano aplicado a la Geometría: las ecuaciones del Álgebra son el reflejo lingüístico de los problemas de la Geometría.

Cómo se llega a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas

«Así, si se quiere resolver algún problema, debe de antemano considerarse como ya resuelto, y dar nombre a todas las líneas que parecen necesarias para construirlo,tanto a las que son desconocidas como a las otras. Luego, sin considerar ninguna diferencia entre estas líneas conocidas y desconocidas, se debe examinar la dificultad según el orden que se presente como más natural de todos, en la forma como aquellas líneas dependen mutuamente las unas de las otras, hasta que se haya encontrado la manera de expresar una misma cantidad de dos maneras: lo que se denomina una ecuación, pues [el resultado de] los términos de una de esas dos formas son iguales a los de la otra.»

He aquí una aplicación directa de los procedimientos del Análisis y la Síntesis tal como los había descrito Pappus en El Tesoro del Análisis del Libro VII de la Colección Matemática y tal como lo había aplicado Vieta con la intervención del Álgebra en su Arte Analítica. Todo conduce a determinar la ecuación del problema geométrico, es decir, transitar de la Geometría al Álgebra mediante la metodología cartesiana, siguiendo unas pautas que Descartes ya había insinuado en las Reglas XVII–XXI de las Regulae:

a) Suponer el problema resuelto.

b) Dar nombre a todos los segmentos que parecen necesarios.

El propio Análisis nos ayudará a determinar quiénes son éstos, tanto los conocidos (datos) como los desconocidos (incógnitas) sin considerar ninguna diferencia entre ellos.

Estos dos primeros pasos corresponden al Análisis en sentido de Pappus. Ahora examinando el problema, siguiendo un orden basado en la intuición o en el Análisis anterior, estableciendo las relaciones que existen entre las diversas segmentos –los conocidos y los desconocidos– hemos de conseguir expresar un mismo segmento por medio de dosexpresiones algebraicas diferentes, lo que permite realizar la Síntesis, es decir:

c) Determinar la ecuación entre las longitudes conocidas y las desconocidas. Finalmente para resolver de forma definitiva el problema quedan dos pasos:

d) Resolver la ecuación resultante.

e) Construir geométricamente la solución.

Al plantearse problemas geométricos en la Síntesis se han de obtener soluciones geométricas para cuya construcción el Álgebra será el instrumento analítico esencial. Así pues, ante un problema geométrico se aplicará todo un protocolo de actuación –el método cartesiano–: se empieza suponiendo el problema resuelto y se consideran las relaciones entre las líneas, lo que lleva al establecimiento de las ecuaciones, es decir, el estudio analítico se complementa con la síntesis algebraica que lleva a la construcción de la solución. El Análisis y el Álgebra que están ordenados al estudio y conocimiento de la figura, permiten traducir los datos geométricos de forma que sean tratables por medio del cálculo algebraico; se concluye el problema de Álgebra planteando y resolviendo las ecuaciones y finalmente los resultados obtenidos deben ser traducidos de nuevo al lenguaje geométrico, operación que nos da por fin la construcción de la solución. El Álgebra es un instrumentoque finalmente nos ha de reconducir a la Geometría. Continúa el texto de Descartes con la primera manifestación irónica de las diversas presentes en La Geometría

«[...] Y pueden siempre reducirse así todas las cantidades desconocidas a una sola, cuando el problema puede construirse mediante círculos y líneas rectas, o bien por secciones cónicas o aun por ninguna otra línea que no esté compuesta, sino en uno o dos grados más. Pero no me detengo a explicar esto con más detalle para no privar a cada uno del placer de aprenderlo por sí mismo, ni impedir el cultivo útil del propio

espíritu ejercitándolo, que es, a mi parecer, la principal utilidad que puede obtenerse

de esta ciencia, [...]»

BIOGRAFIA

René Descartes1 (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.

Es también conocido como Cartesius, que era la forma latinizada en la cual escribía su nombre, nombre del que deriva la palabra cartesiano.

Hizo famoso el célebre principio cogito ergo sum, ("pienso, luego existo"), elemento esencial del racionalismo occidental, y formuló el conocido como "Método cartesiano", pero del "cogito" ya existían formulaciones anteriores, alguna tan exacta a la suya como la de Gómez Pereira2 en 1554, y del Método consta la formulación previa que del mismo hizo Francisco Sánchez en 1576.3 Todo ello con antecedentes en Agustín de Hipona4 y Avicena,5 por lo que ya en su siglo fue acusado de plagio, entre otros por Pierre Daniel Huet.6

Escribió una parte de sus obras en latín, que era la lengua internacional del conocimiento y la otra en francés. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemática, de la geometría analítica. Se lo asocia con los ejes cartesianos en geometría, con la iatromecánica y la fisiología mecanicista en medicina, con el principio de inercia en física, con el dualismo filosófico mente/cuerpo y el dualismo metafísico materia/espíritu. No obstante parte de sus teorías han sido rebatidas -teoría del animal-máquina- o incluso abandonadas -teoría de los vórtices-. Su pensamiento pudo aproximarse a la pintura de Poussin7 por su estilo claro y ordenado.

Su método filosófico y científico, que expone en Reglas para la dirección de la mente (1628) y más explícitamente en su Discurso del método (1637), establece una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba en las universidades. Está caracterizado por su simplicidad —en su Discurso del método únicamente propone cuatro normas— y pretende romper con los interminables razonamientos escolásticos. Toma como modelo el método matemático, en un intento de acabar con el silogismo aristotélico empleado durante toda la Edad Media.

Consciente de las penalidades de Galileo por su apoyo al copernicanismo, intentó sortear la censura, disimulando de modo parcial la novedad de las ideas sobre el hombre y el mundo que exponen sus planteamientos metafísicos, unas ideas que supondrán una revolución para la filosofía y la teología. La influencia cartesiana estará presente durante todo el S.XVII: los más importantes pensadores posteriores desarrollaron sistemas filosóficos basados en el suyo; no obstante, mientras hubo quien asumió sus teorías -Malebranche o Arnauld- otros las rechazaron -Hobbes, Spinoza, Leibniz o Pascal-.

Establece un dualismo sustancial entra alma -res cogitans, el pensamiento- y cuerpo -res extensa, la extensión-.8 Radicalizó su posición al rechazar considerar al animal, al que concibe como una «máquina»,9 como un cuerpo desprovisto de alma. Esta teoría será criticada durante la Ilustración, especialmente por Diderot, Rousseau y Voltaire.